定积分计算的国王法
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发布时间：2023-05-25 17:50:52
这里我们所说的“国王法”其实是一个简单的线性变换。似乎它简单得不值一提，但我们觉得这可能是一个挺有用的方法。在英文文献里称之为“King Rule”或者“King’s Property”。我们不知道这个名称的来源，只能按字面意思翻译成“国王法”。
给定一个定积分，国王法说的是：
容易看出，这个公式可以通过线性变换得到
下图是示意图。
当a=0，国王法可以简化成：
我们来看一个具体的例子：计算
这是2018年印度工学院入学考试（Joint Entrance Examination）的一道题。记
运用国王法得到
将两式相加就得到
于是所求积分的值是π/4.
如果在上图中函数f(x)是关于过a和b的中点x=(a+b)/2的垂直直线对称的，那么有
我们再来看一个例子：计算积分
首先，利用国王法得到
将上面二式相加得到
注意到在(0,π)上函数lnsin(x)关于中点x=π/2是对称的，所以有
做一个简单的变换就容易看出，
将上面两式子相加得到，
再利用三角函数的性质
和一个简单的线性变换，我们最后可以得到
即
最后让我们留下三道题。第一道题可以让我们看到国王法的力量。对任意的正整数n，计算定积分
读者可能会注意到，上面的几个例子全部与三角函数有关。我们最后看两个其他的习题。
计算定积分
计算定积分
三个积分答案分别为：
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