定积分计算的国王法
41次浏览
发布时间：2023-05-25 17:50:52
这里我们所说的“国王法”其实是一个简单的线性变换。似乎它简单得不值一提，但我们觉得这可能是一个挺有用的方法。在英文文献里称之为“King Rule”或者“King’s Property”。我们不知道这个名称的来源，只能按字面意思翻译成“国王法”。
给定一个定积分，国王法说的是：
容易看出，这个公式可以通过线性变换得到
下图是示意图。
当a=0，国王法可以简化成：
我们来看一个具体的例子：计算
这是2018年印度工学院入学考试（Joint Entrance Examination）的一道题。记
运用国王法得到
将两式相加就得到
于是所求积分的值是π/4.
如果在上图中函数f(x)是关于过a和b的中点x=(a+b)/2的垂直直线对称的，那么有
我们再来看一个例子：计算积分
首先，利用国王法得到
将上面二式相加得到
注意到在(0,π)上函数lnsin(x)关于中点x=π/2是对称的，所以有
做一个简单的变换就容易看出，
将上面两式子相加得到，
再利用三角函数的性质
和一个简单的线性变换，我们最后可以得到
即
最后让我们留下三道题。第一道题可以让我们看到国王法的力量。对任意的正整数n，计算定积分
读者可能会注意到，上面的几个例子全部与三角函数有关。我们最后看两个其他的习题。
计算定积分
计算定积分
三个积分答案分别为：
相关文章
为什么楼顶有裂纹（楼顶裂缝可以用水泥修补达到防水目的吗？）
2025-03-21 05:47:20
冰箱为什么起霜花（冰箱结霜危害多，学会家政阿姨的清理方法）
2025-03-21 05:45:27
壁纸为什么会翘边（家庭装修贴壁纸的四大误区？）
2025-03-21 05:40:02
油漆为什么会含甲醛（水性漆含有甲醛吗？）
2025-03-21 05:38:08
房屋为什么要验收（装修前认真验收房子很有必要）
2025-03-21 05:36:16
锅炉为什么热水浑（锅炉水浑浊是什么情况）
2025-03-21 05:31:23