斯特瓦尔特定理与托勒密定理的相互证明
斯特瓦尔特定理给出了三角形中切氏线（Cevian）与三边长度之间的关系，利用该定理 可以推导出著名的托勒密定理。反之，利用托勒密定理也可以推导出斯特瓦尔特定理。
一、利用斯特瓦尔特定理推导出托勒密定理
如图1，在△ABC中，D为BC上一点，连接AD，根据斯特瓦尔特定理有：
AB²·DC ＋ AC²·BD － AD²·BC＝BC·BD·DC，
或AD²·BC＝AB²·DC ＋ AC²·BD－BC·BD·DC，
或AB²·DC ＋ AC²·BD＝AD²·BC＋BC·BD·DC。
作△ABC的外接圆（图2），延长AD交圆于E，连接EB、EC。在四边形ABEC中，根据托勒密定理有下列线段等式：AB·EC＋AC·BE＝BC·AE。下面介绍两种方法证明托勒密定理。
1.直接利用斯特瓦尔特定理公式推导出托勒密定理公式。
在圆内接四边形ABEC中，根据相交弦定理得：
AD·DE＝BD·DC…………①;
易证△DAB∽△DCE，则EC/AB＝DC/AD,
即AB·DC＝AD·EC…………②;
同理△DBE∽△DAC，则BE/AC＝BD/AD,
即AC·BD＝AD·BE…………③。
将上述三个等式分别代入斯特瓦尔特定理公式中进行变形：
AD²·BC＝AB²·DC ＋ AC²·BD－BC·BD·DC，
AD²· BC＝AB（AB· DC）＋ AC（AC· BD）－BC（BD·DC），
AD²· BC＝AB·AD·EC＋ AC·AD·BE－BC·AD·DE，
即AD·BC＝AB·EC＋ AC·BE－BC·DE，
AD·BC＋BC·DE＝AB·EC＋ AC·BE，
BC（AD＋DE）＝AB·EC＋ AC·BE，
则AB·EC＋AC·BE＝BC·AE成立。
2.根据图2中的三个线段等式关系（AD· DE＝BD· DC，EC/AB＝DC/AD, BE/AC＝BD/AD）及斯特瓦尔特定理公式（AB²·DC ＋ AC²·BD＝AD²·BC＋BC·BD·DC）对托勒密定理公式AB·EC＋AC·BE＝BC·AE的左侧表达式进行变形得：
AB·EC＋AC·BE
=AB²·EC/AB＋AC²·BE/AC
= AB²·DC/AD＋AC²·BD/AD
=（AB²·DC＋AC²·BD）/AD
=（AD²·BC＋BC·BD·DC）/AD
=（AD²·BC＋BC·AD· DE）/AD
= AD·BC＋BC·DE
= BC（AD＋DE）
= BC·AE，
故AB·EC＋AC·BE＝BC·AE成立。
二、直接利用托勒密定理推导斯特瓦尔特定理
根据图2圆内接四边形ABEC中已知的线段等量关系，将托勒密定理公式直接变形如下：
AB·EC＋AC·BE＝BC·AE，
AB²·EC/AB＋AC²·BE/AC＝BC·AE，
AB²·DC/AD＋AC²·BD/AD＝BC·AE，
AB²·DC＋AC²·BD＝BC·AE·AD，
AB²·DC＋AC²·BD＝BC·AD（AD+DE），
AB²·DC＋AC²·BD＝BC·AD ²+BC·AD·DE，
AB²·DC＋AC²·BD＝BC·AD ²+BC·BD·DC，即
AB²·DC ＋ AC²·BD － AD²·BC＝BC·BD·DC成立。
