燕尾定理详细讲解（小学求面积六大模型之：燕尾定理）

100次浏览发布时间：2024-08-05 08:02:44

在小学奥数面积六大模型中，以动物命名的模型有3个，蝴蝶模型、鸟头模型和燕尾模型，蝴蝶模型应用于四边形，鸟头模型和燕尾模型应用于三角形。同样应用于三角形，鸟头模型是共角三角形，而燕尾模型是共底三角形，也就是说，两个底相同的三角形分布于以底为分界线的两侧，形状像燕子的尾巴，故得名燕尾模型（燕尾定理）。

一、燕尾定理

★在三角形 ABC 中, AD , BE , CF 相交于同一点 O ,那么:

❶S△AOB:S△AOC= BD : DC

★推广:

❷S△AOB:S△BOC=AE:EC

❸S△AOC:S△BOC=AF:FB

二、定理证明

以❶S△AOB:S△AOC= BD : DC 为例，说明一下燕尾定理的证明过程。

根据等高三角形面积之比等于对应底之间之比的性质，

S△BOD:S△COD=BD:DC①

同理，S△BOD:S△AOB=S△COD:S△AOC=OD:AO②

由②得，S△AOB:S△AOC=S△BOD:S△COD

由①得，S△AOB:S△AOC=S△BOD:S△COD=BD:DC

从而❶S△AOB:S△AOC= BD : DC得证，❷❸同理可证。

三、记忆方法

以❶S△AOB:S△AOC= BD : DC为例，我们发现以△AOB和△AOC是共底三角形，而且两个三角形分布于底的两侧，两个三角形除底之外的第三个顶点得连线被底所在直线所截，分成两部分（BD和CD）,可得两个三角形面积之比等于被底所截两线段之比。

简记为:共底三角形面积之比，等于第三点连线被底所截线段之比。

四、燕尾定理应用

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段,在许多几何题目中都有着广泛的运用,它的特殊性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径。