椭圆的面积公式推导过程图（数学经典：阿基米德用一种非常直观的方法来计算椭圆的面积）

73次浏览发布时间：2022-12-12 18:21:22

阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积(命题4)。

当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆。椭圆有一条长半轴和一条短半轴。

椭圆面积的公式是对圆面积的一种美丽的推广。长半轴a、短半轴b的椭圆面积为:

首先，我们用直观的方法推导出这个公式。但阿基米德的“方法”和严格的定理证明之间有明显的区别。

之后，我们将解释阿基米德是如何证明这个结果的。

在椭圆周围半径为a的圆称为它的辅助圆。如果我们(垂直地)缩小这个圆，我们得到一个椭圆。给定椭圆上的点m，它满足关系式:

阿基米德考虑了椭圆和辅助圆内接的一些多边形。这些多边形的边数等于4的倍数，并以水平直径的相对端点作为顶点。

圆内接的多边形P’是正多边形，P是内接在椭圆E上的多边形，其顶点是从P’的顶点到E的水平轴的垂线与椭圆E的交点，我们具有以下关系

那么两个多边形P和P’的面积关系是：

但是这些多边形可以有任意多的边，它们可以无限的趋近圆和椭圆

我们得到椭圆面积的公式:

如果我们的直觉是正确的，那么这就是椭圆面积的公式。使用mathlet缩放，我们可以看到非常好的近似值，但多边形永远不会完全填充整个椭圆或圆

这是一个很好的方法，但阿基米德需要一个逻辑严密的证明。