共线点的证法

判定三点或三个以上的点位于同一直线,谓之共线点问题.共线点是初等几何中的一类重要问题,一些重要的、有特殊性的点,恰恰共线,成了初等几何的著名问题.

1.基本思路

在理论上讲,共线点也是一种等量关系,因为有如下三个准则:

(i)化成等距关系:两个较小的距离之和等于最大的距离.

(ii)化成面积关系:相应的三角形之面积为零

(ii)化成角的等量关系

在初等几何中,常用的是后者,前两种多见于解析几何.

2.常用途径

在初等几何中,共线点主要是化成角的等量关系,具体的途径,则有如下几条：

(i)对顶角之逆

欲证X、Y、Z共线,可自X引一直线PXQ,若Y、Z在PQ的异侧(如图），则有

∠YXP=∠ZXQ推出X、Y、Z共线

(ii)邻角互补.

自X引射线XP,若Y、Z在直线XP的异侧(如图）,则有

∠YXP+∠PXZ=180°推出X、Y、Z共线

(iii)平行线的唯一性

证一点与另两点的连线皆平行于某定直线,则该三点共线.

(iv)垂线的唯一线.与上类似

（(iii)、(iv)这两条,实质上也可归结成前两条的特例但因常用而单列之,以便引用.）此外,常用的还有以下两条途径:

(v)证明具有某特性的点必在另两点的连线上

(vi)归结为已知的共线点定理

例如,许多共线点的问题,都可用将要介绍的梅氏的共线点定理去证.

3.证法举例

例1、已知:△ABC内接于⊙O,L、M和N分别为BC、CA和AB的中点,连结NM、LM分别交AB、BC于D、E，I为△ABC的内心。求证：D、I、E共线.

说明 其实,角平分线和外接圆上造成的等角关系很多,恰当地运用,就产生多种解法,现分别介绍如下:

证法1 利用对顶角之逆

设α=∠DIN,B=∠CIE,其它各角如图1.1所示，则有M平分弧AC，

这个证明中,对顶角a、β是以两种不同的方式进行转化的,因此,将每种方式加以发展,便又得两种证法:如图1.2的所示,a、β是邻补角;如图1.3所示,证ADIP、CEIQ皆为菱形，即可由平行线的唯一性得出所证。

图1.2

图1.3

证法2 利用平行线的唯一性

设BM交AC于B,并连结AM,如图2.2。

证法3 借助计算.

如果一时没有找到恰当的等量关系,或没有看出相似形,亦可借助分角线定理和正弦定理进行计算，即有

先在△AMB中，由MN平分∠AMB可得

4,两条著名的线

（1）欧拉线

在任一三角形中,外心亚心和重心共线。

(2)西姆松( Simson)定理

三角形外接圆上任一点向三边作垂线,则三垂点共线。

5,一个有力的工具–梅涅劳斯(Menelans)定理

以上都是一些特殊的其线点,现在,我们给出一个判定三点共线的普通准则,从而可以把它用来作为证明共线点的锐利武器。

（1）梅氏准则:在△ABC中,设X,Y.Z分别位于BC.CA.AB或其延长线上，如图4.1。

X、Y、Z其线的充要条件是

图4.1

（2）梅氏准则的应用

除了例题之外，我们再举一个例子。

例2、在直角梯形ABCD中,以垂直的一腰AB为直径的半圆切另一腰于E,自E作EF⊥AB于F,连结AC交EF于M。求证：AC平分EF

证：利用梅氏定理

延长二腰、设它们相交于S,如图4.2，

这两例说明:梅氏定理,不仅是证共线点的有力工具,只要用的适当,它在其他问题上亦会发挥强大的威力。